البرمجة الخطية: التطبيقات ، التعاريف والمشاكل

البرمجة الخطية: التطبيقات والتعاريف والمشاكل!

(ط) وضع جدول زمني لصناعات تجهيز الأغذية ولمصافي البترول وما إلى ذلك.

(2) في الصناعات المعدنية العاملة يتم استخدامها لتحميل المحل وتحديد الخيار بين شراء وإنتاج أجزاء مختلفة.

(3) يتم استخدامه لتقييم مختلف خامات الحديد في صناعات الحديد والصلب.

(4) يتم استخدامه لتقليل كمية خسائر القطع في مصانع الورق.

(ت) يتم استخدامها للعثور على التوجيه الأمثل للتدليك في شبكة الاتصالات.

البرمجة الخطية

البرمجة الخطية هي أداة / تقنية رياضية لتحديد أفضل استخدامات لموارد المؤسسة. تم تصميم البرمجة الخطية لمساعدة المديرين فيما يتعلق بالتخطيط واتخاذ القرارات. كأداة من أدوات صنع القرار ، فقد أظهرت قيمتها في مجالات مختلفة مثل الإنتاج وتمويل التسويق والبحوث ومهام الموظفين.

تحديد مزيج المنتج الأمثل ، وتحديد جداول النقل مهمة تعيين آلة ؛ موقع المصنع وتخصيص العمالة وما هي أنواع المشاكل القليلة التي يمكن حلها بمساعدة البرمجة الخطية.

"تحليل المشاكل التي ينبغي فيها تعظيم دالة خطية لعدد من المتغيرات (أو التقليل منها) عندما تكون هذه المتغيرات خاضعة لعدد أو قيود على شكل خطي في المساواة" ، Samuelson و Slow.

ووفقًا لـ Loomba ، "تعد البرمجة الخطية جانبًا واحدًا من ما كان يُطلق عليه نهج النظام في الإدارة حيث يتم تصميم وتقييم كل البرامج وفقًا لأهدافها النهائية في تحقيق أهداف العمل".

البرمجة الخطية المشاكل - الرسومية

يمكن تلخيص خطوات الرسوم البيانية على النحو التالي ؛

1. صياغة مشكلة البرمجة الخطية

.2 أرﺱﻢ theﻄﻮط اﻟﻘﻴﻮد اﻟﻤﻌﺮوﺿﺔ ﺏﺎﻋﺘﺒﺎرهﺎ آﻤﻌﺎدﻻت

3: من الرسم البياني أعلاه تحديد منطقة الحل عمليا

.4 ﺣدد ﻣﮐﺎن ﻧﻘطﺔ اﻟﺣﺎﺟز ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﺣل اﻟﻣﻣﮐﻧﺔ.

5. حساب قيمة الدالة الهدف على نقاط الزاوية.

6. الآن اختيار النقطة حيث أن وظيفة الهدف لديها القيمة المثلى.

مثال 1:

بعد الانتهاء من بناء ساعاته وجد السيد جوبالان أن 100 قدم مربع من خردة الخشب الرقائقي و 80 قدم مربع من خردة الصنوبر الأبيض هي في شكل قابل للاستخدام ، والتي يمكن استخدامها لبناء الجداول وكتاب الغلاف. ويحتاج إلى 16 قدمًا مربعًا من الخشب الرقائقي و 8 قدمًا مربعًا من خشب الصنوبر الأبيض لصنع طاولة ، ويحتاج إلى 12 قدمًا مربعًا من الخشب الرقائقي و 16 قدمًا مربعًا من خشب الصنوبر الأبيض لبناء غلاف الكتاب. عن طريق بيع المنتجات النهائية إلى تاجر محلي يمكنه تحقيق ربح روبية. 25 على كل جدول وروبية. 20 في كل حالة كتاب. كيف يمكن أن يكون أكثر ربحية استخدام اليسار على الخشب. تطبيق طريقة رسومية لحل LLP

حل:

دعنا نفترض أن X 2 هو عدد الجداول و X 2 تكون عدد حالات الكتب بحيث

الآن من أجل رسم القيد على الرسم البياني مؤقتًا سنقوم بتحويل اللامساواة إلى معادلة على النحو التالي:

ويسمى أي مزيج من قيمة x 1 و x 2 التي تلبي مثل هذه القيود الحل المناسب. يتم إظهار المنطقة OABC في الشكل 15.1 بالرضا بواسطة القيد في المساحة المظللة وتعرف باسم منطقة الحل الممكنة.

ماكس Z = 160

س 1 = 4

x 2 = 3 Ans.

المثال 2:

تصنع كراسي تصنيع الأثاث والكراسي. البيانات الواردة أدناه توضح الموارد المستهلكة وأرباح الوحدة. علاوة على ذلك ، من المفترض أن الخشب والعمالة هما الموردان المستهلكان في تصنيع الأثاث. يريد مالك الشركة تحديد عدد الكراسي والطاولات التي يجب إجراؤها لزيادة إجمالي الأرباح.

حل:

دع x ، يكون عدد الجداول x2 هو رقم. الكراسي بحيث.

الآن من أجل رسم القيود على الرسم البياني مؤقتًا ، سنحول عدم المساواة إلى معادلات:

بالمثل في المعادلة

أي مجموعة من قيمة x والتي تفي القيد المعطى تعرف باسم الحل المجدي. تظهر منطقة OABC 'm Fig.1.15،2 بالقيود في منطقة مظللة وتعرف بمنطقة الحل الممكنة. يمكن الحصول على تنسيق النقطة في زاوية المنطقة عن طريق حل المعادلتين للخطوط المتقاطعة على النقطة B

ومن ثم Z = 96

س 1 = 4

x 2 = 9 Ans.

المثال 3:

تنتج الشركة نوعين من القلم ، مثل A & B. Pen A ، وهي ذات جودة عالية و 6 جودة أقل. الربح على الأقلام A و B هو Rs. 5 و Rs.3 لكل قلم على التوالي. المواد الخام المطلوبة لكل قلم A هي ضعف ذلك بالنسبة إلى القلم B.

إن إمدادات المواد الخام كافية فقط لـ 1000 الأقلام من النوع B في اليوم. يتطلب القلم A مقطعًا خاصًا ولا يتوفر سوى 400 مقطع صوتي من هذا القبيل يوميًا. بالنسبة للقلم B ، يتوفر 700 مشبك في اليوم. اعثر على مزيج المنتج بيانياً حتى تتمكن الشركة من تحقيق أقصى ربح.

(ماجستير إدارة الأعمال بجامعة دلهي أبريل 1988)

حل:

Let x 1 = Number of Type A pens

x 2 = عدد أقلام Type B

الصيغة الرياضية للمشاكل هي

عن طريق تحويل عدم المساواة من القيود المذكورة أعلاه إلى المساواة على الرسم البياني نحصل على الرسم البياني

من خلال رسم الخطوط أعلاه على الرسم البياني لدينا x 1 x 2 تلبية جميع القيود الثلاثة مثل x 1 ≥ 0 و x 2 ≥ 0 ، لذلك فإن الشكل 15.3 أعلاه يشكل ODABE كمنطقة مجدية.

يتم تقييم النقاط المختلفة تحت.

من الواضح من الجدول أعلاه أن القيمة القصوى لـ Rs. 2850 عند النقطة B

هكذا x 1 = 150، x 2 = 700 & Z = 2850

المثال 4:

GJ Breveries Ltd تمتلك شركة GJ Breveries المحدودة مصنعان لتعبئة الزجاجات ، يقع أحدهما في G والآخر في شركة J.. ينتج كل مصنع ثلاث مشروبات من الويسكي والبيرة والبراندي المسمى A و B و C على التوالي. عدد الزجاجات المنتجة يوميا هو كما يلي.

وأشار السوق إلى أنه خلال شهر يوليو ، سيكون هناك طلب من 20000 زجاجة من زجاجات الويسكي ، و 40000 زجاجة من البيرة و 44000 زجاجة براندي ، وتبلغ تكلفة التشغيل اليومية للمصانع G and J 600 و 400 وحدة نقدية. كم عدد الأيام التي سيتم فيها تشغيل كل مصنع في يوليو ، وذلك لتقليل تكلفة الإنتاج ، مع استمرار تلبية الطلب في السوق؟ حل بيانيا؟

حل:

بيانات المشكلة كالتالي:

الآن الهدف هو تقليل التكلفة التي يمكن تقديمها بطريقة رياضية على النحو التالي.

من أجل رسم القيود على الرسم البياني ، يتم تحويل عدم المساواة في القيود المذكورة أعلاه إلى معادلات نحصل عليها

1500x 1 + 1500x 2 = 20000

3000x 1 + 1000x 2 = 40000

20000x 1 + 5000x 2 = 44000

تبسيط المعادلات السابقة لدينا

سيكون الحل في الربع الأول ، حيث أن كل واحد منهم حدث ليكون أكبر من أو يساوي قيود نوع بحيث تكون النقاط (x v x 2 ) في المنطقة التي تقع على يمين كل من الخطوط المرسومة.

تشكيل المنطقة أعلاه الرسم البياني غير محدود هو ABC ، ​​ومن أجل العثور على القيمة عند B ، نقوم بحل المعادلة بين الأجزاء وفي وقت واحد.

المثال 5:

يجب أن يقرر مدير مصفاة البترول المزيج الأمثل من عمليتي خلط محتملتين تكون مدخلات الإنتاج والإنتاج لكل عملية إنتاج كما يلي:

الحد الأقصى لمقدار الخام A و B هو 200 وحدة و 150 وحدة على التوالي. توضح متطلبات السوق أنه يجب إنتاج ما لا يقل عن 100 وحدة من وحدات قانولان X وما شابه لذلك من وحدات البنزين.

الأرباح لكل عملية تشغيل من العملية 1 وعملية 2 هي روبية. 300 و روبية. 400 على التوالي. حل LP من خلال طريقة رسومية.

(جامعة جوجارات ماجستير في إدارة الأعمال عام 1989)

حل:

وفقا للبيانات والصياغة الرياضية للمشاكل

Max Z = 300x 1 + 400x 2

تخضع الى

5x 1 + 4x 2 = ≤ 200

3x 1 + 5x 2 = ≤ 150

5x 1 + 4x 2 = ≥ 100

8x 1 + 4x 2 = ≥ 80

ولأغراض التآمر على هذه القيود على الرسم البياني ، دعونا ننظر إلى هذه الأمور على هيئة معادلة مساوية لذلك

إذا قمنا برسم قيم على الرسم البياني ، نحصل عليه كما هو موضح في الشكل 15.5.

الحل يكمن في واحدة من نقاط الزاوية في منطقة الحل LMN ، O ، P ولتحديد القيمة غير المعروفة أي O نحن نحل معادلات التقاطع في نفس الوقت أي

مثال 6:

شركة تجعل المنتج x و y لديه إنتاج إجمالي سعة 9 طن متواصل. في كل يوم x & y تتطلب نفس القدرة الإنتاجية. لدى الشركات عقد دائم لتوريد ما لا يقل عن 2 طن من x و 3 طن على الأقل من y في اليوم إلى شركة أخرى. يتطلب كل طن من x وقت إنتاج 20 ساعة عمل وكل طن من y يتطلب 50 ساعة من وقت الإنتاج.

العدد اليومي الأقصى الممكن لساعات العمل هو 360. يمكن بيع كل إنتاج الشركة والربح الذي يتم تحقيقه هو روبية. 80 لكل طن من x و Rs. 120 لكل طن من ذ. مطلوب تحديد جدول الإنتاج لأقصى ربح ولحساب جدول الإنتاج لأقصى ربح ولحساب الربح.

(ماجستير إدارة الأعمال بجامعة دلهي أبريل 1983)

حل:

يمكن كتابة LP المعطى رياضياً كما يلي:

دع تعامل عدم المساواة كمعادلات لغرض التآمر فوق القيم على الرسم البياني كما يلي:

دعونا نرسم هذه المعادلات على الرسم البياني كما هو موضح في الشكل 15.6.

من خلال الرسم البياني من الواضح أن EFGH هي منطقة الحل ويقع الحل في نقطة الزاوية في EFGH.

القيمة عن طريق التفتيش في

E = (2 ، 3)

F = (6 ، 3)

للنقطة "يمكن حساب القيمة من خلال المعادلات المتزامنة للخطوط الداخلية في H. أي

20x 1 + 50x 2 = 360

س 1 = 2

x 2 = 320/50 = 6.4

مثل الحكماء عند النقطة G وهو تقاطع المعادلات

20x 1 + 50x 2 = 360… (1)

x 1 + x 2 = 9… (2)

حل هذه المعادلات نحصل عليها

x 1 = 3، x 2 = 6

الحد الأقصى للربح في نقطة G. وبالتالي.

س 1 = 3

س 2 = 6

Z = 960 Ans.

مثال 7:

الوزن القياسي لبنة للأغراض الخاصة هو 5 كلغ ويحتوي على مكونين أساسيين 6 1 و S 2 يكلفان Rs. 5 لكل كيلوغرام وتكلفة S 2 روبية. 8 لكل كيلوغرام

تملي دراسة القوة أن الطوب لا يحتوي على أكثر من 4 كجم من S ، والحد الأدنى من 2 كجم من S2 حيث أن الطلب على المنتج من المحتمل أن يكون مرتبطًا بسعر الطوب لمعرفة الحد الأدنى لتكلفة الطوب الذي يلبي ما ورد أعلاه الظروف.

(ICWA June 1982)

حل:

يمكن إعطاء البيانات المعطاة الشكل الرياضي كما يلي:

إذا تعاملنا مع عدم المساواة من القيود كمعادلة في الوقت الحاضر بحيث يمكن رسم المعادلة على الرسم البياني نحن جات.

الآن نحن نرسم هذه القيم على الرسم البياني.

وبما أن أحد القيود هو المساواة x 1 + x 2 = 5. لا يوجد حل ، بل هو نقطة حل تفي بجميع الشروط أي نقطة S (3 ، 2)

Z = 31

س 1 = -3

x 2 = 2Ans.

المثال 8:

حل بياني مشكلة البرمجة الخطية التالية.

حل:

من أجل رسم الرسم البياني تحويل عدم المساواة من القيود المعطاة في المساواة ، نحصل

الآن رسم الخطوط المذكورة أعلاه على الرسم البياني كما هو موضح في الشكل 15.8. منطقة الحل المجدية المتقاطعة والمحددة بواسطة ABCDE. قيمة Z في نقاط مختلفة هي كما يلي.

النقطة A الخطوط المتقاطعة هي

2x 1 - x 2 = -2

2x 1 + 3x 2 = 12

حل لهم في وقت واحد نحصل عليه

× 1 = 0.75

× 2 = 3.5

عند النقطة B ، تتقاطع الخطوط

2x 1 - x 2 = -2

3x 1 + 4x 2 = 12

حل هذه المعادلات نحصل على إحداثيات B as

× 1 = 0.8

س 2 = 3.6

عند النقطة C تتقاطع

س 1 = 4

و 3 x 1 + 4x 2 = 12

حتى يصبح إحداثيات C

x 1 = 4 و x 2 = 6

عند النقطة D تتقاطع الخطوط

x 1 = 4 و x 2 = 2

لذلك إحداثيات D هي (4 ، 2)

في المعادلة E المعادلات التقاطعية هي

2x 1 + 3x 2 = 12

س 2 = 2

بحيث تصبح إحداثيات E في حل هذه المعادلات

x 1 = 3 أي (3،2)

س = 2


موصى به

مقال جديد عن حصاد مياه الأمطار
2019
دياتوميت: المرادفات والمصادر والاستخدامات
2019
عملاء Jay Who Prey على الموردين من كل من السلع والخدمات
2019