الاتجاه المركزي: المعنى ، الاستخدامات والقياسات

الميل المركزي: المعنى ، الاستخدامات والتدابير!

معنى التيار المركزي:

مقاييس الاتجاه المركزي هي مزيج من كلمتين أي "قياس" و "اتجاه مركزي". القياس يعني الطرق والميل المركزي يعني متوسط ​​قيمة أي سلسلة إحصائية. وهكذا يمكننا القول أن الميل المركزي يعني طرقًا لمعرفة القيمة المركزية أو القيمة المتوسطة لسلسلة إحصائية من المعلومات الكمية.

أشار JP Guilford إلى أن "المتوسط ​​هو قيمة مركزية لمجموعة من الملاحظات أو الأفراد".

وفقا لكلارك "متوسط ​​هو محاولة للعثور على شخصية واحدة لوصف كامل الرقم."

في كلمات AE Waugh "المتوسط ​​هو قيمة مفردة يتم اختيارها من مجموعة من القيم لتمثيلها بنفس الطريقة - وهي القيمة التي من المفترض أن تقف لمجموعة كاملة منها جزء منها ، كنموذج لجميع القيم في المجموعة."

وبالتالي يمكن القول أن الاتجاه المتوسط ​​أو المركزي هو رقم واحد يتم حسابه من توزيع معين لإعطاء فكرة مركزية حول السلسلة بأكملها. تكمن قيمة المتوسط ​​ضمن الحد الأقصى والحد الأدنى للقيمة في السلسلة.

استخدامات التيار المركزي:

هناك حاجة إلى الاتجاه المركزي للأسباب التالية:

1. المتوسط ​​يوفر الصورة العامة للسلسلة. لا يمكننا تذكر كل الحقائق المتعلقة بمجال التحقيق.

2. يوفر متوسط ​​القيمة صورة واضحة عن المجال قيد الدراسة للتوجيه والاستنتاج الضروري.

3. يقدم وصفًا موجزًا ​​لأداء المجموعة ككل ، ويمكّننا من مقارنة مجموعتين أو أكثر من حيث الأداء النموذجي.

مقاييس النزعة المركزية:

هناك ثلاثة مقاييس للاتجاه المركزي ، مثل:

(1) المتوسط ​​الحسابي.

(2) الوسيط و

(3) الوضع.

(1) المتوسط ​​(M):

بالنسبة للرجل العادي ، المتوسط ​​يعني المتوسط ​​الحسابي. هو الأكثر استخداما بسبب بساطته ، صلابة الخ.

يُعرَّف المتوسط ​​الحسابي بأنه "القسمة التي يتم الحصول عليها عن طريق قسمة إجمالي قيم المتغير على العدد الإجمالي لملاحظاته أو عناصره".

II.E. يعرّف Garett (1985 P) أن "المتوسط ​​الحسابي أو ببساطة أكثر هو متوسط ​​الدرجات أو المقاييس المنفصلة مقسومًا على عددها".

طرق حساب الوسط:

هناك عدة طرق لحساب الوسط. ولكن هنا سنناقش طريقتين فقط.

هم على النحو التالي:

1. الطريقة المباشرة أو طريقة طويلة.

2. طريقة قصيرة أو طريقة متوسط ​​مفترضة.

1. الطريقة المباشرة أو الطريقة الطويلة:

في هذه الطريقة يتم حساب المتوسط ​​مباشرة من السلسلة المعطاة. في هذه الطريقة ، يمكننا حساب المتوسط ​​من البيانات غير المبوبة والصيغة لحساب المتوسط ​​من البيانات غير المجمعة.

الصيغة لحساب المتوسط ​​من البيانات غير المجمعة هي:

من البيانات المجمعة يتم حساب المتوسط ​​بالصيغة التالية:

توضيح:

احسب المتوسط ​​من توزيعات التردد التالية بالطريقة المباشرة:

2. طريقة قصيرة أو مفترضة يعني الأسلوب:

يُعرف باسم طريقة المتوسط ​​المفترض لأنه بدلاً من حساب المتوسط ​​من النقاط الوسطى ، نأخذ متوسطًا مفترضًا لمعرفة المتوسط. أولاً ، "نخمن" أو نفترض متوسطًا ثم نطبق تصحيحًا على هذه القيمة المفترضة من أجل العثور على القيمة الصحيحة.

وترد أدناه معادلة لمعرفة المتوسط ​​في طريقة المتوسط ​​المفترض:

فيما يلي مناقشة خطوات حساب المتوسط ​​في الطريقة القصيرة:

الخطوة 1:

افترض أي نقطة منتصف للتوزيع كمتوسط. لكن أفضل خطة هي أن تأخذ منتصف النقطة الفاصلة بالقرب من المركز الذي يحتوي على أكبر تردد.

الخطوة 2:

اكتشف أن x 'column، x' هو الانحراف بين النتيجة والوسط المفترض.

هنا يمكننا معرفة x "باستخدام الصيغة التالية:

الخطوه 3:

اكتشف عمود fx . تم العثور عليه عن طريق ضرب عمود f بواسطة x 'عمود.

خطوة 4:

اكتشف ∑ f x. إضافة كل القيم الإيجابية والقيم السلبية بشكل منفصل. ثم تعرف على المبلغ الجبري الذي هو ∑ fx.

خطوة 5:

معرفة المتوسط ​​باستخدام الصيغة 9.4.

توضيح:

تعرف على متوسط ​​التوزيع بالطريقة المفترضة.

في اختبار الرياضيات ، تم عرض علامات 50 طالباً في التوزيع التالي:

هنا أخذنا 44.5 نقطة الوسط لـ Ci 40—49 كمتوسط ​​مفترض. الآن يمكننا معرفة المتوسط ​​باستخدام الصيغة - 8.4.

المتوسط ​​المشترك:

يمكن للوسائل المنفصلة لعدد من السلاسل المختلفة أن تنتج المتوسط ​​الحسابي المجمع لكل السلاسل المختلفة عندما يتم إعطاء عدد العناصر في كل من هذه السلسلة. يتم حساب ذلك بواسطة الصيغة التالية عندما يكون عدد المجموعات n.

توضيح:

أدناه يتم إعطاء متوسط ​​طلاب الصف السادس من 4 مدارس. ما هو متوسط ​​طلاب الصف السادس بشكل عام.

يمكننا معرفة المتوسط ​​المجمع من خلال تطبيق المعادلة 9.5:

وبالتالي فإن متوسط ​​جميع طلاب الصف السادس هو 55.25.

استخدامات المتوسط:

هناك قواعد عامة معينة لاستخدام المتوسط. بعض من هذه الاستخدامات هي كما يلي:

1. يعني مركز الثقل في التوزيع وتساهم كل درجة في تحديده عندما يكون انتشار الدرجات متناظما حول نقطة مركزية.

2. يعني أكثر استقرارا من الوسيط والنمط. بحيث أنه عندما يتم استخدام مقياس الاتجاه المركزي الذي يتمتع بأكبر قدر من الاستقرار ، فيتم استخدام الوسط.

3. ويستخدم متوسط ​​لحساب إحصاءات أخرى مثل SD ، معامل الارتباط ، ANOVA ، ANCOVA الخ

مزايا المتوسط:

1. يتم تعريف متوسط ​​صارم بحيث لا يوجد أي سؤال من سوء الفهم حول معناها وطبيعتها.

2. إنه الميل المركزي الأكثر شعبية حيث يسهل فهمه.

3. من السهل حساب.

4. يشمل جميع درجات التوزيع.

5. لا يتأثر بأخذ العينات بحيث تكون النتيجة موثوقة.

6. متوسط ​​القدرة على المعالجة الجبرية الأخرى بحيث أن الإحصائيات المختلفة الأخرى مثل التشتت ، الارتباط ، الانحراف تتطلب حسابًا.

عيوب يعني:

1. يتأثر يعني من درجات المدقع.

2. يعني في بعض الأحيان قيمة غير موجودة في السلسلة.

3. أحيانا يعطي قيمة سخيفة. على سبيل المثال ، هناك 41 و 44 و 42 طالبًا في الصف الثامن والتاسع والعاشر في إحدى المدارس. وبالتالي فإن متوسط ​​عدد الطلاب لكل فصل هو 42.33. هذا ممكن أبدا.

4. في حالة وجود فواصل من فصول مفتوحة ، لا يمكن حسابها بدون افتراض حجم فئات النهاية المفتوحة.

(2) متوسط:

Median هو مقياس آخر للميل المركزي. وهو متوسط ​​موضعي لأنه يتم تحديد قيمته بالإشارة إلى موضعه في عمود القيمة في سلسلة. في قاموس كولينز للإحصاء ، يتم تعريفه على أنه "القيمة المتوسطة في التوزيع ، أدناه وأعلاها القيم الكاذبة مع إجمالي الترددات أو الاحتمالات المتساوية".

D. Patri (1996) يُعرّف الوسيط بأنه "قيمة العنصر الأوسط من سلسلة مرتبة بترتيب تصاعدي أو تنازلي. على هذا النحو يقسم سلسلة إلى قسمين متساويين ".

يمكن تعريف الوسيط كنقطة على التوزيع الذي تقع تحته خمسون في المئة من الحالات وما فوقها في خمسين في المئة من الحالات.

حساب الوسيط من البيانات غير المبوبة:

في حالة البيانات غير المبوبة يتم ترتيب النتائج حسب الحجم. ثم يتم العثور على نقطة الوسط بها ، وهو الوسيط. في هذه العملية تنشأ حالتان في حساب الوسيط ، (أ) N هو فردي (b) N حتى أولًا سنناقش كيفية حساب الوسيط (Mdn) عندما يكون N غريبًا.

توضيح:

في الصف 9 ، قام الطلاب بتأمين العلامات التالية في اختبار المفردات. معرفة المتوسط.

علامات - 6 ، 12 ، 8 ، 13 ، 7 ، 10 ، 7 ، 11 ، 9

في البيانات غير المبوبة

دعونا نناقش كيفية حساب Mdn عندما يكون N.

توضيح:

حساب Mdn من البيانات التالية من 10 طلاب من اختبار التهجئة في اللغة الإنجليزية.

علامات = 7 و 6 و 8 و 12 و 7. 9 و 11 و 10 و 13 و 14

لحل المشكلة علينا أن نرتب من أجل الحجم

6 و 7 و 7 و 8 و 9 و 10 و 11 و 12 و 13 و 14

الآن تطبيق الصيغة 8.6 نحصل؛

حساب الوسيط من البيانات المجمعة:

نحن نعرف أن الوسيط هو النقطة التي توزع التوزيع إلى نصفين متساويين.

تُقرأ الصيغة لمعرفة الوسيط من البيانات المجمعة كما يلي:

حيث L = الحد الأدنى من الطبقة المتوسطة.

الطبقة المتوسطة هي تلك الفئة التي يكون ترددها التراكمي أكبر من قيمة N / 2 أي N / 2> cf (تردد تراكمي)

N / 2 = نصف العدد الإجمالي للدرجات.

F = التكرار التراكمي للفئة الداخلية تحت فئة الوسيط.

fm = تواتر الطبقة المتوسطة.

i = حجم الطبقة الداخلية.

خطوات لحساب mdn من البيانات المجمعة:

الخطوة 1.

يحسب N / 2 أي 50 ٪ من التوزيع.

الخطوة 2:

حساب التردد التراكمي للتوزيع من أدنى النهاية.

الخطوه 3:

تعرف على الطبقة MDN. التردد التراكمي للفاصل الزمني للفئة حيث N / 2> cf

خطوة 4:

تعرف على التردد التراكمي تحت فئة mdn.

خطوة 5:

اكتشف f _m . ووضع كل القيم في الصيغة.

توضيح:

معرفة متوسط ​​التوزيع.

أدناه يتم إعطاء درجات من 40 طالبا في اختبار الرياضيات:

L = 59.5. لأن N / 2 أي 20 مدرجة في التكرار التراكمي للفئة 60-61 ، والقيود الدقيقة لـ Ci = 59.5—61.5.

F = 17. التردد التراكمي تحت فئة mdn.

fm = 7. التكرار الدقيق لفئة mdn.

ط = 2. حجم فاصل فئة.

الآن وضع القيمة في الصيغة

ام ام ان التوزيع هو 60.63.

يمكن أيضًا حساب Mdn من الحد الأعلى للتوزيع. الصيغة لمعرفة mdn بأخذ الحدود العليا تقرأ مثل هذا.

حيث U = الحد الأعلى للفئة Mdn.

F ₁ = التكرار التراكمي للفاصل الزمني للفئة فوق الطبقة Mdn.

fm = تواتر الطبقة المتوسطة.

i = حجم فاصل الفصل الدراسي.

خطوات:

في حالة حساب Mdn من الحد الأعلى ، فإن الاختلاف الوحيد هو أن علينا حساب التردد التراكمي من الطرف العلوي.

توضيح:

U = 61.5. لأن التكرار التراكمي 23 يتضمن N / 2 أي 20.

F = 16. تكرار تراكمي لفاصل الفئة فوق فئة Mdn.

fm = 7 تردد من الطبقة المتوسطة.

أنا = 2

و Mdn هو 60.36.

هناك أيضا بعض الحالات الاستثنائية لمتوسط ​​الحوسبة. هذه عندما يكون توزيع التردد يحتوي على فجوات وعندما تكون فواصل الفصل مفتوحة. بادئ ذي بدء ، سنناقش عندما يكون هناك فجوات في توزيع التردد.

عندما تكون هناك ترددات متتالية 0 على فترات الفصل الدراسي حيث يكمن Mdn فإن الصعوبة تنشأ لمعرفة الطبقة Mdn. في هذه الحالة ، نضيف فترات التكرار 0 إلى الفترات الموضحة أعلاه وفئات الدراسة.

يوضح الرسم التوضيحي التالي العملية بوضوح:

توضيح:

تعرف على Mdn من السلسلة التالية:

L = 49.5. الحد الأدنى من Ci حيث تكون Ci أكبر من N / 2.

F = 4 Cf of the Ci under the Mdn class

و م = 2. وتيرة الطبقة Mdn.

ط = 10. حجم Ci

وضع القيم في الصيغة 8.7.

وبالتالي فإن Mdn للتوزيع هو 57.

الوضع الثاني هو أنه عندما تكون هناك فواصل من فصول مفتوحة في كلا الطرفين. في هذه الحالة ، قد تبقى النهايات المفتوحة مفتوحة أو قد يتم تحويلها إلى فئات محددة. ويرد توضيح أدناه.

توضيح:

حصل 30 طالبًا على العلامات التالية في اختبار الرياضيات. حصل 4 طلاب على أقل من 10 علامات. حصل 6 طلاب على علامات تتراوح بين 10 إلى 20 ، و 10 طلاب بين 20-30 ، و 8 طلاب تتراوح أعمارهم بين 30 إلى 40 ، و 7 طلاب تتراوح أعمارهم بين 40 إلى 50 و 3 طلاب فوق 50. تعرف على Mdn.

L = 19.5. الحد الأدنى من الطبقة Mdn أي 20-30.

F = 10. Cf of the Ci أدناه Mdn class.

fm = 10

أنا = 10

لذلك امدن من التوزيع هو 28.5.

استخدامات Median:

1. يستخدم الوسيط عند الحاجة إلى نقطة الوسط الدقيقة للتوزيع أو مطلوب نقطة 50 ٪.

2. عندما تؤثر النقاط المتطرفة على المتوسط ​​في ذلك الوقت يكون المتوسط ​​هو أفضل مقياس للميل المركزي.

3. يستخدم الوسيط عندما يتطلب الأمر أن تؤثر بعض النقاط على الاتجاه المركزي ، لكن كل ما هو معروف عنها هو أنها فوق أو تحت الوسيط.

4. يستخدم الوسيط عندما تكون الطبقات مفتوحة أو أنها غير متساوية في حجم الخلية.

مزايا ميديان:

1. من السهل حساب وفهم.

2. جميع الملاحظات ليست مطلوبة لحساباتها.

3. لا تؤثر النقاط المتطرفة على الوسيط.

4. يمكن تحديده من سلسلة مفتوحة.

5. يمكن تحديدها من الفواصل الزمنية للفصل غير المتساوي.

عيوب الوسيط:

1. لا يتم تعريفها بشكل صارم كمتوسط ​​لأنه لا يمكن حساب قيمتها بل تحديد موقعها.

2. لا يشمل جميع الملاحظات.

3. لا يمكن أن يعالج أكثر جبريًا مثل الوسط.

4. يتطلب ترتيب الدرجات أو الفواصل الزمنية في ترتيب تصاعدي أو تنازلي.

5. في بعض الأحيان أنها تنتج قيمة غير موجودة في السلسلة.

(3) الوضع:

الوضع هو أكثر الدرجات تكرارًا في التوزيع. كمتوسط ​​يمثل القيمة الأكثر نموذجية من سلسلة والتي تتزامن تقريبا مع العناصر الموجودة. لا يتأثر أبداً بالنتائج المتطرفة ولكن بالتكرار الشديد للقيم. لتحديد وضع طرق مختلفة هناك.

بعض من الأساليب الهامة تناقش أدناه:

طرق لتحديد الوضع:

1. طريقة التفتيش

2. طريقة التجميع

3. طريقة العلاقات التجريبية

1. طريقة التفتيش:

في هذا الأسلوب يتم تحديد الطريقة فقط عن طريق الملاحظة. يتم تحديد الوضع هنا من خلال ملاحظة الدرجات الأكثر تكرارًا أو الفاصل الزمني للفصل الذي يتم فيه أخذ الحد الأقصى لحمل التردد كفئة نمطية. عند وجود قيمتين أو فئتين من نفس الفئتين لهما نفس التكرار أو التردد ، يتم أخذ كل من الدرجات أو فواصل الدرجات كطريقة. " ويسمى التوزيع كتوزيع ثنائي الوسائط. إذا كان هناك أكثر من قيمتين أو فواصل من فئتي ، فستكون متحالفة كتوزيع متعدد الوسائط.

2. طريقة التجميع:

عندما يكون فارق القيمة بين أعلى تردد وتالي أعلى تردد منخفض جداً في ذلك الوقت ، فإنه ليس من الآمن تحديد الأسلوب في طريقة الفحص. في مثل هذه الحالات المشكوك فيها كانت تستخدم طريقة التجميع.

في هذه الطريقة يتم أولاً إعداد جدول تجميع أو بيان لتجميع الترددات. في هذا البيان ضع القيم أو فئات القيم في العمود الأيسر والترددات المقابلة لها في العمود التالي. في العمود التالي (2) مجموعة الترددات في twos بدءا من التردد الأول. ثم في مجموعة العمود الثالث ، تبدأ الترددات في اثنين من التردد الثاني. في مجموعة الأعمدة التالية ، تبدأ الترددات في الثلاثات من التردد الأول.

في مجموعة الأعمدة التالية ، تبدأ الترددات في الثلاثات من التردد الثاني. في مجموعة العمود الأخير ، تبدأ الترددات في الثلاثات من التردد الثالث. بمجرد الانتهاء من التجميع ، حدد الحد الأقصى (الأرقام) لكل عمود من الأعمدة الستة بوضع دائرة.

الخطوة التالية هي إعداد جدول تحليل لتحديد قيمة مشروطة أو فئة مشروطة. في هذا الجدول ، يتم عرض القيم الشرطية المحتملة في الخط الأفقي العلوي تحت الأعمدة المختلفة وسيتم وضع أرقام الأعمدة المختلفة في الجانب الأيسر من الجدول.

سيتم تحديد القيم التي تعرض الحد الأقصى للترددات المجمعة في جدول التجميع بواسطة علامة مقابل العمود الخاص بها. سيتم جمع عدد هذه العلامات الموضوعة تحت أعمدة القيمة المحتملة في أسفل هذا الجدول. وسيتم تحديد القيمة المحتملة التي تبين الحد الأقصى من هذا الإجمالي على أنها القيمة النموذجية للفئة المشروطة حسب الحالة.

سيوفر الرسم التوضيحي التالي فهمًا أفضل:

توضيح:

ويبين جدول التحليل المذكور أعلاه أن حوالي 60 درجة ، والحد الأقصى للعناقيد أي مجموع 4. لذلك هنا 60 هي القيمة مشروط.

عندما تكون البيانات في السلسلة المستمرة ، يمكننا حساب الوضع من خلال تطبيق الصيغة التالية:

حيث M ₀ = الوضع

L ₀ = الحد الأدنى للفئة المشروطة

f ₂ = تردد الطبقة التي تنجح في فئة مشروطة.

f ₀ = تردد الصف السابق للفئة المشروطة.

i = حجم فاصل الفصل الدراسي.

توضيح:

من البيانات التالية تحديد الوضع:

حل:

هنا فاصل الصف 20-20 يحتوي على أعلى تردد. بحيث يمكن اعتباره فئة مشروطة

هنا:

3. طريقة العلاقة التجريبية:

هذه هي الطريقة الأكثر فعالية لتحديد الوضع. لقد تصور البروفيسور كارل بيرسون هذه الطريقة. وقد وجد البروفيسور بيرسون أنه في سلسلة غير متماثلة أو منحرفة إلى حد ما ، توجد علاقة وثيقة الصلة بين المتوسط ​​والوسيط والوضع. في هذه السلسلة تكون المسافة بين المتوسط ​​والوسطى 1/3 من المسافة بين المتوسط ​​والوضع.

توضيح:

تعرف على الوضع من التوزيع المذكور أعلاه.

حل:

متوسط ​​التوزيع هو 25.94

الوسيط للتوزيع هو 23.83

M ₀ = 3 متوسط ​​- 2 متوسط

M = 3 X 23.83 - 2 × 25.94

= 71.49—51.88

= 19.61 (تقريبًا)

استخدامات الوضع:

يتم استخدام الوضع:

(ط) عندما نريد إجراء قياس سريع وتقريبي للاتجاه المركزي.

(2) عندما نريد قياس الاتجاه المركزي الذي يجب أن يكون قيمة نموذجية. على سبيل المثال ، عندما نريد أن نعرف نمط اللباس النموذجي للمرأة الهندية أي نمط اللباس الأكثر شعبية. مثل هذه العلامات المتوسطة للفئة تسمى علامات مشروطة.

مزايا الوضع:

1. يمنح الأسلوب القيمة الأكثر تمثيلاً للسلسلة.

2. لا يتأثر الوضع بأي درجات متطرفة مثل المتوسط.

3. يمكن تحديده من فاصل زمني مفتوح.

4. يساعد في تحليل البيانات النوعية.

5. ويمكن أيضا أن يحدد الوضع بيانيا من خلال الرسم البياني أو مضلع التردد.

6. الوضع سهل الفهم.

عيوب:

1. لا يتم تعريف الوضع جامدة مثل يعني. في بعض الحالات قد يخرج بنتائج مختلفة.

2. لا يشمل جميع ملاحظات التوزيع ولكن على تركيز ترددات العناصر.

3. لا يمكن أن يتم علاج إضافي جبري مع وسيلة مثل طريقة.

4 - من الصعب تحديد الحالات المتعددة الوسائط والنماذج ثنائية النواة.

5. لا يمكن تحديد الوضع من فواصل غير متساوية.

6. هناك طرق مختلفة وصيغ مختلفة التي تعطي نتائج مختلفة من الوضع ، وبالتالي فإنه يعتبر بشكل صحيح على أنه المتوسط ​​الأكثر سوء.