تحليل التباين (ANOVA)

سوف يهتم هذا المقال بتطبيق تحليل التباين على المشكلة المهمة التي غالباً ما يتم مواجهتها لتحديد أهمية الفرق بين الوسائل.

التباين ، بالمعنى المعتاد ، هو مقياس لتشتت مجموعة من الدرجات. فهو يصف مدى اختلاف الدرجات عن بعضها البعض. يتم تعريفه على أنه متوسط ​​الانحراف المربّع للعشرات الفردية المأخوذة من المتوسط.

حيث x = X - M أو الانحراف للنتيجة من المتوسط ​​، أي التباين = مربع SD

أو ، أو variance = σ ^{2 ،} لذا σ =

يعطينا مقياس التباين فكرة عن تجانس المجموعة. سيكون التباين في مجموعة النتائج أقل عندما تكون المجموعة متجانسة في الإنجاز. من ناحية أخرى ، سيكون التباين في مجموعة النتائج أكثر ، إذا كانت المجموعة غير متجانسة في الإنجاز.

يعتبر تحليل التباين أداة مفيدة جدًا لتحليل نتائج الاستعلامات العلمية والبحث العلمي في العلوم الاجتماعية والفيزيائية. للحصول على إجابات على أسئلة البحث في الدراسات التجريبية أو لاختبار الفرضيات ، يتم تحليل التباين إلى مكونات مختلفة وتتم مقارنة الفروق من مصادر مختلفة. في البحث ، نأتي عبر تصميم تجريبي مختلف ونقوم بصياغة فرضيات فارغة.

نحن نستخدم تقنية "تحليل التباين" (ANOVA أو ANOVAR) لدراسة ما إذا كانت نسبة التباين (F) مهمة أم لا ، واستناداً إلى ذلك ، يتم قبول أو رفض الفرضية الصفرية.

يتم توضيح مفهوم التباين و ANOVA من خلال مثال.

مثال 1:

احسب تباين التوزيع التالي للعشرات 4 و 6 و 3 و 7 و 5.

هنا يُطلق على تعبير Zx ² "مجموع مربعات انحراف الدرجات عن المتوسط" (باختصار SS). عندما يقسم SS بواسطة العدد الكلي لدرجة (N) نحصل على "Mean square" أو MS. وبالتالي ، يُعرف التباين أيضًا باسم Mean Square. رمزيا،

V = MS ، أو V = SS / N

غالباً ما يطلق على التباين في مصطلحات ANOVA "مربع متوسط" (أو MS). في تحليل التباين (ANOVA) ، يتم حساب متوسط ​​مربع أو تباين بقسمة SS بواسطة df . وهكذا

مكونات التباين:

قبل المرور عبر الحسابات التفصيلية للتباين ، يجب إلقاء نظرة على اثنين من مكوناته:

(أ) التباين المنهجي ، و

(ب) اختلاف الخطأ.

(أ) الفرق المنهجي:

التباين المنهجي ، في التركيب التجريبي ، هو ذلك الجزء من التباين الذي يمكن أن يعزى إلى التلاعب في متغير تجريبي أي متغير مستقل.

على سبيل المثال ، يرغب أحد الباحثين في دراسة تأثير التحفيز ، أي المكافأة الشفهية والاعتراف بالإنجاز الأكاديمي لمجموعتين متساويتين. ويختار جماعتين متجانستين ويتلاعب بمكافأة لفظية لمجموعة واحدة والاعتراف بمجموعة أخرى. ثم يدير اختبارًا لكلتا المجموعتين ويحصل على نتائجهم.

(هنا ، "الدافع" هو المتغير المستقل و "النتيجة المحصلة" هي المتغير التابع). عندما يتم حساب التباين من جميع درجات مجموعتين ، يطلق عليه "التباين الكلي" (V _t ). يمكن اعتبار الجزء من التباين الكلي الذي يعزى إلى "التلاعب في الدوافع" فقط "التباين المنهجي". هذا هو الفرق بين المجموعات (أو V _ب ).

(ب) اختلاف الخطأ:

إلى جانب تأثير المتغيرات التجريبية ، هناك أيضًا مصادر أخرى للتغير بسبب المتغيرات الخارجية التي قد تؤثر على المتغير التابع.

وبالتالي ، فإن تباين الأخطاء هو ذلك الجزء من التباين الكلي الذي يمكن أن يعزى إلى مصادر التباين الأخرى غير المضبوطة في التجربة.

نتائج التباين خطأ من مصادر مختلفة بمعنى:

1. مصادر التباين غير المنضبطة الناتجة عن المتغيرات الدخيلة.

2. التباين المتأصل في الوحدات التجريبية.

3. تقلبات عشوائية في التجربة.

4. أخطاء القياس بسبب عدم وجود

(أ) التقنيات التجريبية القياسية ؛

(ب) التوحيد في الإدارة ؛

(ج) السلوك البدني للتجربة ؛

(د) الحالة العاطفية العابرة للمواضيع ، وما إلى ذلك.

رمزيا يتم التعبير عن تباين الأخطاء على أنه V _e . في المثال أعلاه ، نشعر بالقلق الرئيسي من متغيرين ، وهما التحفيز كمتغير مستقل ونتائج التحصيل كمتغير تابع.

إلى جانب هذين المتغيرين ، يصادف المحقق متغيرات أخرى تؤثر على المتغير التابع. قد تكون مثل هذه المتغيرات الأخرى مثل الجنس ، ومستوى الذكاء ، والوضع الاجتماعي الاقتصادي ، والعمر ، والتعليم ، وما إلى ذلك ، التي لم يهتم بها المحقق.

وتسمى هذه المتغيرات التي لا يتم التحكم فيها في مجموعة تجريبية وتؤثر على حدوث المتغير التابع "المتغيرات الدخيلة" أو "المتغيرات غير ذات الصلة".

عندما يتم التحكم في هذه المتغيرات في التجربة ، يمكن تقليل الخطأ التجريبي. إذا لم يتم التحكم في هذه المتغيرات الدخيلة ، فستشكل جزءًا من تباين الأخطاء. "تتمثل الوظيفة الرئيسية للتصميم التجريبي في زيادة التباين المنهجي والتحكم في مصادر التباين الخارجية وتقليل اختلاف الأخطاء." وهكذا يريد كل محقق تقليل الخطأ التجريبي.

من أجل تقليل فرق الخطأ التالي ، يمكن استخدام الطرق التالية:

1. يمكن التحكم في المتغيرات الدخيلة بواسطة:

ا. العشوائي،

ب. إزالة،

ج. مطابقة،

د. عن طريق إدخال متغير مستقل أو متغيرات أخرى ، و

ه. عن طريق التحكم الإحصائي.

2. يمكن التحكم في أخطاء القياس بواسطة :

ا. باستخدام تقنيات تجريبية موحدة ،

ب. باستخدام أدوات قياس موثوقة ،

ج. ضمان التوحيد في الإدارة أو إجراء التجربة ،

د. زيادة موثوقية القياس عن طريق إعطاء تعليمات واضحة لا لبس فيها ، إلخ.

تؤكد المناقشة أعلاه أننا نستنتج أن التباين الكلي يشكل جزءين ،

V _t = V _b + V _e

حيث V _t = إجمالي التباين

V _b = الفرق بين المجموعة (أو التباين المنهجي)

V _e = اختلاف الخطأ.

في ANOVA ، يتم دراسة التباين المنهجي ضد تباين الأخطاء بواسطة F-test.

أكبر قيمة F ، أكبر هو احتمال أن يكون التباين النظامي أكبر من الخطأ التجريبي (ضمن تباين المجموعة أو الاختلافات الفردية).

يمكن لمثال عددي التمييز بين التباين المنهجي وتفاوت الخطأ.

المثال 2:

يعين أحد الباحثين عشرة طلاب عشوائياً لمجموعتين (خمسة في كل مجموعة) ويتلاعب بعمليتي تحفيز هاتين المجموعتين عشوائياً.

ثم يدير المحقق الاختبار ويلاحظ عشرات من الطلاب كما هو مذكور أدناه:

لقد لوحظ الآن أن وسائل مجموعتين مختلفة. وهذا هو ، نجد الفرق بين المجموعة. يمكن حساب التباين بين المجموعات (V _b ) على النحو التالي. دعونا نأخذ الوسيلة 5 و 7 كدرجتين ونحسب التباين في هاتين الدرجتين.

سنقوم بعد ذلك بحساب التباين الكلي (V _t ) عن طريق أخذ كل النقاط العشرة لكلتا المجموعتين في عمود واحد.

يحتوي V _t على جميع مصادر التباين في النتائج. في وقت سابق ، قمنا بحساب V _b (أو الفرق بين المجموعة) ليكون 1.00.

دعونا الآن نحسب تباينًا آخر عن طريق حساب تباين كل مجموعة على حدة ومن ثم حسابها.

نظرًا لأننا قمنا بحساب الفروق بشكل منفصل ثم تم حساب المتوسط ​​، فإننا نطلق على هذا التباين على أنه "ضمن تباين المجموعات" أو V _ث .

في مثالنا V _ث = 3 .8

لذلك 4.8 (V _t ) = 1.00 (V _b ) + 3.8 (V _w )

أو V _f = V _b + V _w [إجمالي التباين = بين فرق المجموعة + التباين داخل المجموعة].

مفاهيم أساسية واجهت مع ANOVA:

قبل التعامل مع المشاكل العددية لاختبار فرضية العدم من خلال توظيف ANOVA ، يجب أن نكون على اطلاع بمفهومين ، (أ) مجموع المربعات (SS) و (b) درجة الحرية ( df ) التي غالباً ما نواجهها في ANOVA.

(أ) حساب SS (مجموع المربعات):

في ANOVA نحسب "التباين بين المجموعة" (V _b ) و "ضمن تباين المجموعات" (V _w ). نحن نحسب V _b و V _{w على} النحو التالي:

حيث SS _b = مجموع المجموعات بين المربعات

و SS _W = مجموع المجموعات من المربعات.

نقارن هذين التباينين ​​بنسبة نسبتها F حيث F = أين

دعونا نتعلم الآن كيفية حساب مجموع المربعات (SS) من خلال طريقتين.

المثال 3:

حساب مجموع المربعات للتوزيع التالي للنتائج.

7 و 9 و 10 و 6 و 8

المتوسط ​​= 40/5 = 8

الطريقة الثانية (طريقة قصيرة):

يمكن حساب SS مباشرة من الدرجات دون حساب الوسط والانحراف. يعرف هذا بالطريقة القصيرة ويحسب SS باستخدام الصيغة ،

هنا ليس لدينا لحساب متوسط ​​والانحرافات من درجة الفردية من المتوسط. يفضل استخدام الطريقة الثانية عندما يكون هناك عدد كبير من الدرجات ، بينما يعني المتوسط ​​الكسور العشرية.

وهكذا في ANOVA يمكن حساب مجموع المربعات باستخدام الصيغة.

حساب بين مجموع مجموعات المربعات (SS _b ) وداخل مجموعات مجموع المربعات (SS _W )

يمكن استخدام طريقتين التاليتين لحساب SS _t و SS _b و SS _w .

المثال 4:

يتم معالجة اثنين من العلاجات المختلفة على مجموعتين من كل خمسة مواضيع.

والدرجات التي تم تحقيقها هي كما يلي:

دع "Grand Mean" (أي متوسط ​​جميع الدرجات العشر) يتم تعيينه على أنه M

الآن M = 35 + 25/10 = 60/10 = 6

حساب SS _t و SS _b و SS _w (الطريقة الطويلة):

حساب SS _t :

لحساب SS _t ، يتعين علينا معرفة مجموع المربعات لانحراف كل من النتائج العشرة المذكورة أعلاه من المتوسط ​​الكبير (أي 6)

حساب SS _b :

لحساب SS _{b ،} نفترض أن كل عنصر في المجموعة يساوي متوسط ​​مجموعتها ثم يدرس التباين بين المجموعات المختلفة. هنا يجب علينا حساب مجموع مربع انحراف وسائل المجموعات المختلفة عن المتوسط ​​الكبير.

يتم أخذ قيمة كل عنصر في المجموعة I لتكون 7 وقيمة كل عنصر من المجموعة - II تؤخذ إلى 5 ومجموع المربعات لهذه القيم من المتوسط ​​الكبير (M = 6) سيتم حسابه.

يمكننا حساب SS _b في شكل جدول كما يلي:

حساب SS _w :

لحساب SS _W سنجد مجموع مربعات انحراف درجات مختلفة في مجموعة من متوسط ​​المجموعات المعنية.

يتم تقديم حساب SS _W في شكل جدولي:

المجموع الكلي للمربعات أو SS _W = 10 + 6 = 16

في الحساب أعلاه وجدنا SS _t و = 26 و SS _b و = 10 و SS _W = 16

هكذا SS _t = SS _b + SS _w

حساب SS _t و SS _b و SS _w (الطريقة القصيرة):

باختصار ، يمكننا حساب SS _t SS _b و SS _W مباشرةً من الدرجات بسهولة باستخدام الصيغ الثلاثة التالية.

في هذه الطريقة القصيرة ليس علينا حساب المتوسط ​​والانحرافات. يمكننا حساب الفروق المختلفة مباشرة من النقاط. في ANOVA ، يتم حساب SS _t و SS _b عادة بالطريقة القصيرة.

أثناء معالجة المشاكل على ANOVA ، يجب علينا حساب SS و SS _t باستخدام هذه الطريقة القصيرة.

(ب) درجات الحرية (df):

يصبح كل SS SS تباينًا عند مقسومًا على درجات الحرية ( df ) المخصصة له. في ANOVA نأتي عبر درجات الحرية ( مدافع ). عدد درجات الحرية لكل تباين واحد أقل من V الذي تقوم عليه.

إذا كان N = عدد الدرجات في الكل و K = عدد الفئات أو المجموعات ، فلدينا في الحالة العامة ما يلي:

df لمجموع SS = (N - 1)

df بين المجموعات SS = (K - 1)

df ضمن مجموعات SS = (N - K)

أيضا:

(N - 1) = (N - K) + (K - 1)

تحليل التباين (طريقة واحدة):

بشكل منفصل ناقشنا عن اختبارات أهمية الفرق بين الوسائل. عادة ما يتم استخدام t-test عندما نريد تحديد ما إذا كانت العينة الثانية تختلف بشكل كبير.

عندما نكون مهتمين بالتجارب المتعلقة بمجموعتين ، يمكننا اختبار ما إذا كانت السمتان تختلفان بشكل كبير عن طريق استخدام اختبار t.

لكن اختبار t غير كافٍ عند مقارنة أكثر من وسيلتين. على سبيل المثال ، هناك أربع وسائل لأربع مجموعات. لاختبار ما إذا كانت هذه الوسائل الأربعة تختلف اختلافاً كبيراً عن بعضها البعض ، يتعين علينا إجراء ستة اختبارات t.

إذا كانت الوسائل الأربع هي M ₁ و M ₂ و M ₃ و M ₄ ، فيجب مقارنة الفرق بين M ₁ و M ₂ أي (M ₁ - M ₂ ) ، بين M ₁ و M ₃ أي (M ₁ - M ₃ ) ، بين M ₁ و M ₄ أي (M ₁ - M ₄ ) ، بين M ₂ و M ₃ أي (M ₂ - M ₃ ) ، بين M ₂ و M ₄ أي (M ₂ - M ₄ ) ، بين M ₃ و M ₄ أي ، (M ₃ - M ₄ ). وبالمثل ، بالنسبة لـ 10 ، يجب أن نجري 45 اختبارًا t.

يعني K بالنسبة لنا أن نجري اختبارات K (K - 1) / 2 t وهذا يتطلب المزيد من العمليات الحسابية واليد العاملة. ولكن من خلال توظيف اختبار F من خلال ANOVA يمكننا تقييم أهمية الاختلاف بين ثلاث أو أكثر من ثلاث وسائل في وقت واحد.

الافتراضات التي يستند عليها اختبار F:

وكالعادة ، يكون القرار الإحصائي سليماً إلى الحد الذي تم فيه استيفاء بعض الافتراضات في البيانات المستخدمة.

في ANOVA توجد عادة أربعة متطلبات محددة:

1. يجب أن يكون أخذ العينات داخل مجموعات عشوائية. يتم اختيار مجموعات العلاج المختلفة عشوائيا من السكان.

2. يجب أن تكون الفروق من داخل المجموعات المختلفة متساوية تقريباً. يشير هذا إلى افتراض تجانس التباين ، أي أن المجموعات متجانسة في التقلبية.

3. ينبغي أن تكون الملاحظات داخل مجموعات متجانسة تجريبيا من السكان الموزعين بشكل طبيعي.

4. يجب أن تكون المساهمات في التباين الكلي مضافة.

سنأخذ بعض الأمثلة ونرى كيف يتم تحليل التباين عند استقلال المجموعات:

المثال 5:

في مجموعة تجريبية يتم تعيين 16 موضوعًا عشوائياً لمجموعتين من كل 8 مواضيع. تم التعامل مع هاتين المجموعتين بطريقتين مختلفتين من التعليمات. اختبار أهمية الفرق بين وسائل العينة.

حل:

المجموع الكلي (أي إجمالي جميع النقاط الـ 16) = 104 أو =X = 104

الوسط الكبير (M) يعني متوسط ​​جميع النقاط الـ 16 = ∑X / N = 104/16 = 6.5

لحساب نسبة F ، سيتعين علينا اتباع الخطوات الموضحة أدناه:

الخطوة 1:

مجموع كل الدرجات الـ 16 هو 44 + 60 أو 104 ؛ والتصحيح (C) هو ، وفقا لذلك ،

الخطوة 2:

عندما يتم تربيع كل درجة من المجموعتين وتجميعها تصبح ∑X ² (∑X ₁ ² + 2X ₂ ² = 260 + 460) 720.

ثم يتم طرح التصحيح 676 من الإجمالي باستخدام الصيغة:

الإجمالي SS أو SS ₁ = 2X ² - C = 720 - 676 ​​= 44.

أو ، SS _t = 3 ² + 4 ² + 5 ² + …… .. + 9 ² - 676 ​​= 44

الخطوه 3:

تم العثور على مجموع المربعات بين المتوسطات SS _{b من} خلال جمع مجموع كل عمود ، قسمة الأولى والثانية على 8 بشكل منفصل وطرح C.

بين مجموعة SS أو SS _b

الخطوة الرابعة:

SS داخل (أو SS _W ) هو الفرق بين SS _t و SS _b . هكذا SS _W = 44 - 16 = 28.

الخطوة 5:

حيث أن هناك 16 نقطة في كل شيء

تفسير نسبة F:

وتكون نسبة التباين F أو 16/2 أو 8. وتكون df بين المتوسطتين 1 و Df بالنسبة إلى داخل المجموعات هي 14. ويدخل الجدول F مع قيم df هذه التي نقرأها في العمود 1 والصف 14 حيث أن مستوى 0،0 هو 4.60 و مستوى .01 هو 8.86. لدينا F محسوبة كبيرة في مستوى 0.05.

لكنها ليست كبيرة في مستوى 0،01. أو بمعنى آخر ، القيمة الملاحظة لـ F أكبر من قيمة مستوى 0.05 ولكنها أصغر من قيمة المستوى 001. ومن ثم نستنتج أن متوسط ​​الفرق كبير عند مستوى 0.05 ولكنه ليس مهمًا عند مستوى 0.01 من الأهمية.

مثال 6:

(عندما تكون أحجام المجموعات غير متساوية) يتم إجراء اختبار الفائدة على 6 فتيان في فصل تدريب مهني و 10 فتيان في فصل لاتيني.

هل الفرق المتوسط ​​بين المجموعتين مهم عند مستوى 0.05؟ اختبار أهمية الفرق من خلال ANOVA.

تفسير نسبة F:

نسبة التباين أو F هي 135/33 أو 4.09. إن df بين المتوسطين هو 1 و df بالنسبة إلى داخل المجموعات هو 14. يتم إدخال جدول F مع قيم df هذه في العمود 1 والصف 14 حيث أن مستوى 0.05 هو 4.60 والمستوى .01 هو 8.86. لا تصل F محسوبًا لدينا 4.09 إلى المستوى 0.05 تمامًا ، حتى لا يعتبر فارق المتوسط ​​لدينا البالغ 6 نقاط كبيرًا. ومن ثم يتم قبول فرضية العدم.

عندما تكون هناك وسيلتان فقط يمكن مقارنتهما ، كما هو الحال هنا ؛ F = t ² أو t = = √F ويعطي الاختباران (F و t) نفس النتيجة بالضبط. بالنسبة للمثال أعلاه ، فإن √F = √4.09 = 2.02. من الجدول D وجدنا أنه بالنسبة لـ 14 df ، فإن مستوى 0.05 من الأهمية لهذا t هو 2.14.

لا يصل حجم t 2.02 إلى هذا المستوى تمامًا ، وبالتالي لا يكون (مثل F) كبيرًا.

مثال 7:

(أكثر من مجموعتين)

تطبيق ANOVA لاختبار ما إذا كانت وسائل أربع مجموعات تختلف بشكل كبير:

بما أن هناك 20 درجة في أربع مجموعات:

df لمجموع SS (أو SS ₁ ) = (N - 1) أو 20 - 1 = 19

df for SS _b = (K - 1) أو 4 - 1 = 3

df for SS _w = (N - K) أو 20 - 4 = 16

F = 33.33 / 3.5 = 9.52

T = √F = 3.08

تفسير نسبة F:

نسبة التباين أو F هي 9.52. إن df بين المتوسطين هو 3 و Df بالنسبة إلى المجموعات هو 16. أدخل جدول F مع هذه df s نقرأ العمود 3 والصف 16 بأن مستوى 0.05 هو 3.24 وأن مستوى 0.01 هو 5.29.

لدينا F محسوب من 9.52 أكثر من 5.29. وبالتالي F مهم. يتم رفض فرضية الخلاصة مع استنتاج أن الوسائل الأربعة تختلف بشكل كبير عند مستوى 01.

(ب) سنأخذ مثالاً آخر في تحليل التباين عند قياس نفس المجموعة أكثر من مرة ، أي في حالة المجموعات المترابطة:

عندما يعطى اختبار ثم يتكرر ، يمكن استخدام تحليل التباين لتحديد ما إذا كان متوسط ​​التغيير هامًا (أي أهمية الفرق بين الوسائل التي تم الحصول عليها من المجموعات المترابطة).

المثال 8:

(للمجموعات المرتبطة)

يتم إعطاء خمسة مواضيع 4 تجارب متتالية على اختبار رمز رقم والتي تظهر فقط درجات للمحاكمتين 1 و 4. هل المكاسب المتوسطة من التجربة الأولية إلى النهائية مهمة.

تختلف إجراءات تحليل التباين في الوقت الحالي بطريقتين على الأقل من الطرق المذكورة أعلاه.

أولاً ، بما أن هناك إمكانية للترابط بين الدرجات التي حققتها الموضوعات الخمسة في المرحلتين الأولى والرابعة ، فيجب ألا يتم التعامل مع مجموعتي الدرجات في البداية كعينات مستقلة (عشوائية).

ثانيا ، التصنيف الآن من حيث معيارين: (أ) التجارب و (ب) الموضوعات.

وبسبب هذين المعيارين ، يجب تقسيم إجمالي SS إلى ثلاثة أجزاء:

(أ) SS المنسوبة إلى المحاكمات ؛

(ب) SS المنسوبة إلى الموضوعات ؛ و

(ج) عادة ما تسمى SS المتبقية بـ "التفاعل"

يمكن تلخيص الخطوات في حساب هذه الفروق الثلاثة على النحو التالي:

الخطوة 1:

تصحيح (ج). كما هو الحال في الإجراء السابق ، C = (∑X) ² / N. في المثال أعلاه ، يكون C هو 90 2/10 أو 810.

الخطوة 2:

المجموع الكلي للمربعات. مرة أخرى ، يكرر الحساب الإجراء المستخدم في المثال 1 و 2 و 3.

Total SS or SS _t = 7 ² + 8 ² + 4 ² + 6 ² + 5 ² + 10 ² + 15 ² + 5 ² + 20 ² + 10 ² - C

= 1040 - 810 أو 230.

الخطوه 3:

SS بين وسائل المحاكمات. هناك تجربتان من 5 درجات لكل منهما.

وبالتالي،

الخطوة الرابعة:

SS بين وسائل الموضوعات. ثانيًا "بين الوسائل" مطلوب SS أن يعتني بالمعيار الثاني للتصنيف. هناك 5 طلاب / مواد ولكل منها تجربتان. تمت إضافة نتائج التجارب الأولى والرابعة لكل موضوع / طالب للحصول على 17 و 23 و 9 و 26 و 15.

بالتالي،

الخطوة 5:

تفاعل SS. يكون التباين المتبقي أو التفاعل المتبقي هو كل ما تبقى عند إزالة التأثيرات المنهجية للاختلافات التجريبية والاختلافات في المادة من إجمالي SS.

يقيس التفاعل الميل إلى اختلاف أداء الموضوع مع التجارب: فهو يقيس العوامل التي لا تعزى إلى موضوعات أو تجارب تعمل بمفردها ، بل تعمل معاً على حد سواء.

يجب الحصول على التفاعل ببساطة عن طريق طرح التجارب SS بالإضافة إلى الموضوعات SS من إجمالي SS.

وهكذا،

Interaction SS = SS _t - (SS _Subjects + SS _trials ) = 230 - (90 + 90) = 50.

الخطوة 6:

حيث أن هناك 10 درجات في كل ما لدينا (10-1) أو 9 مد لمجموع SS. تتلقى تجربتان 1 df و 5 مواضيع ، 4 - وتُخصص الـ 4 df المتبقية للتفاعل. القاعدة هي أن df للتفاعل هو نتاج df للمتغيرين المتفاعلين ، هنا 1 x 4 = 4. بشكل عام ، N = إجمالي عدد النقاط ، r = rows و K = أعمدة.

تفسير نسب F:

و F للمحاكمات هو 7.2. القيمة المحسوبة لـ F للتجارب هي أقل من 7.71 التي نقرأها في الجدول F للنقطة 0،0 عند df ₁ = 1 و df ₂ = 4.

وهذا يعني أن الفرضية الصفرية فيما يتعلق بالمحاكمات قابلة للتطبيق ويجب قبولها. الأدلة قوية أنه لم يحدث أي تحسن كبير من المحاكمة 1 إلى المحاكمة 4.

و F للموضوعات هو 1.8 وهو أصغر بكثير من النقطة 0.05 من 6.39 في الجدول F لـ df ₁ = 4 و df ₂ = 4. من الواضح أن المواضيع ليست أفضل باستمرار من غيرها.

وهذا يعني أن الفرضية الصفرية فيما يتعلق بالموضوعات قابلة للإستمرار ويجب قبولها.

اتجاهين ANOVA:

لتدريس مفهوم هندسي معين إذا تم تطبيق طرق تدريس مختلفة على مجموعتين أو أكثر من مجموعتين من الطلاب ، فإننا نسميها كمتغير تجريبي.

في اتجاه واحد ANOVA يتم دراسة عامل واحد فقط (أي متغير مستقل واحد). على سبيل المثال ، عندما نريد اختبار ما إذا كانت أساليب التدريس لها أي تأثير على الإنجاز ، ندرس تأثير متغير مستقل واحد (أي أساليب التدريس) على المتغير التابع (أي الإنجاز).

يتم تمييز مجموعات البيانات على أساس اختلاف تجريبي واحد فقط. هناك مبدأ واحد فقط للتصنيف ، وأحد أسباب فصل البيانات إلى مجموعات.

لهذا دعونا نختار ثلاث مجموعات عشوائياً ونقوم بتعيين ثلاث معالجات مختلفة بمعنى: الطريقة - 1 ، الطريقة - 2 ، والطريقة - 3 عشوائياً لهذه المجموعات الثلاث.

في النهاية ، يمكن الحصول على درجات التحصيل لموضوعات المجموعات الثلاث المختلفة من خلال اختبار مناسب.

ثم من خلال توظيف ANOVA يمكننا اختبار ما إذا كانت وسائل هذه المجموعات الثلاث تختلف بشكل كبير.

في تصنيف ثنائي الاتجاه أو ANOVA ثنائي الاتجاه ، هناك قاعدتان منفصلتان للتصنيف. يسمح لشروط تجريبية أن تختلف من مجموعة إلى أخرى. في المختبرات النفسية ، يمكن رؤية مختلف شرائط مهبط الطائرات المصطنعة ، كل منها بنمط مختلف من العلامات ، من خلال شاشة انتشار لتحفيز الرؤية من خلال الضباب على مستويات مختلفة من الغموض.

في مشكلة تعليمية ، يمكن تطبيق أربع طرق لتدريس مفهوم هندسي معين من قبل خمسة مدرسين مختلفين ، كل واحد يستخدم كل واحدة من الطرق الأربع. سيكون هناك بالتالي 20 مجموعة من المعلم والطريقة.

يمكن أن يسبقك الجدول التالي:

في مثال تم الاستشهاد به أدناه ، يتم دراسة تأثيرات ثلاث طرق للتعليم على درجات التحصيل. ولكن من المتوقع أن يكون لأساليب التدريس تأثيرًا مختلفًا اعتمادًا على مستوى الوضع الاجتماعي-الاقتصادي (SES) للمواضيع.

لذا ، يمكننا تصميم دراسة يمكن من خلالها دراسة تأثير متغيرين ، أي تأثير طرق التدريس وتأثير مستويات الوضع الاجتماعي-الاقتصادي (SES) في وقت واحد. في هذا التصميم يمكننا أيضًا دراسة تأثير التفاعل. لمثل هذه التصاميم يتم استخدام تقنيات ANOVA ذات الاتجاهين.

مثال 9:

تم اختيار ست مجموعات من الطلاب (خمسة طلاب في كل منها) عشوائياً لستة حالات علاجية. دراسة تأثير اثنين من العوامل ، والعامل A (الحالة الاجتماعية والاقتصادية) والعامل B (طرق التدريس) للمثال التالي.

حل:

في المثال أعلاه ، أخذنا مستويين من SES بمعنى ، SES عالية في الفئة ₁ و SES منخفض في الفئة A ₂ وثلاث طرق للتعليم بمعنى ، B ₁ (محاضرة) ، B ₂ (مناقشة) و B ₃ ( لعب في اتجاه و).

سيكون العدد الإجمالي للعلاجات في التجربة 2 × 3 = 6. وهنا ن = 5 والعدد الإجمالي للملاحظة N = 5 × 6 = 30.

الإجمالي الكلي ، ∑X = 30 + 50 + 40 + 25 + 45 + 35 = 225.

يمكن تقديم ست مجموعات معالجة مختلفة في "جدول التفاعل" ، كما هو موضح أدناه:

لثلاث طرق للتعليم توجد ثلاثة أعمدة (.. c = 3). يتم استخدام المجاميع الصف لحساب SS لـ A (SES). يتم استخدام مجاميع الأعمدة لحساب SS لـ B (طرق التدريس).

يمكن تلخيص الخطوات في حساب الفروق على النحو التالي:

الخطوة 1:

الخطوة 2:

مجموع SS أو SS _t = 2X ² - C. هنا يتم ترقيم جميع النقاط الثلاثين وإضافة وإحال C.

SS _t = 5 ² + 7 ² + …… + 10 ² + 7 ² - 1687.5 = 1919 - 1687.5 = 231.5

الخطوه 3:

بين المجموعة SS أو SS _b = إجمالي (∑X) ² / n لجميع شروط المعالجة الست - C.

الخطوة الرابعة:

ضمن مجموعات SS أو SS _W = SS _t - SS _b = 231.5 - 87.5 = 144

الخطوة 5:

الآن يمكن تقسيم "بين المجموعة SS" أو SS _b من 87.5 إلى ثلاثة أجزاء ، أي SS ، SS _B و SS _AB أي SS _b = SS _A + SS _B + SS _AB

حيث SS = SS من العامل A (SES) الذي ينتج عن انحراف A ₁ و A ₂ يعني من متوسط ​​الدرجات الإجمالية.

SS _B = SS للعامل B (الأساليب) المتولدة من انحرافات B ₁ و B ₂ و B ₃ تعني من متوسط ​​الدرجات الكلية.

الخطوة 6:

درجات الحرية لمختلف SS

في مشكلتنا لدينا 6 مجموعات

.˙. ك = 6

n = 5 و N = 6 xn = 6 x 5 = 30.

في جدول التفاعل يوجد صفان وثلاثة أعمدة

.˙. r = 2 و C = 3.

يمكن إجراء تقسيم Df على النحو التالي:

df for SS _t = N - 1 = 30 - 1 or 29

df for SS _b = K - 1 = 6 - 1 or 5

df for SS _W = K (n - 1) = 6 x 4 or 24

يمكن تقسيم df fox SS _b إلى ثلاثة أجزاء:

(i) df for SSA = r - 1 = 2 - 1 or 1

(ii) df for SSB = c - 1 = 3 - 1 or 2

(iii) df for SS _AB = (r - 1) (C - 1) = 1 x 2 or 2

الآن يمكننا إدخال الحساب أعلاه في جدول ملخص ANOVA ثنائي الاتجاه:

تفسير نسبة F:

(أ) F لـ SES أو F for A

F = MS _A / MS _W = 7.5 / 6.0 = 1.25

(.052 أقل من واحد)

كما F من 1.25 <4.26 على مستوى 0.05 نحتفظ بالفرضية العديمة أن المجموعتين المختارين عشوائيتين لا تختلفان على درجات التحصيل على أساس الوضع الاجتماعي-الاقتصادي.

كما F من 6.67> 5.6 عند مستوى 0.01 ، نرفض فرضية العدم. نخلص إلى أن أساليب التدريس الثلاثة تؤثر على درجات التحصيل بشكل مختلف.

كما F من 0.00 <1 ، نحتفظ بالفرضية الصفرية. نحن نقبل فرضية العدم من عدم التفاعل. نستنتج أن فعالية الأساليب لا تعتمد على مستوى الوضع الاجتماعي والاقتصادي.